Teorema Fundamental Dalam Aritmatika

Teorema fundamental dalam aritmatika merupakan teorema paling dasar dalam aritmatika, dalam artian semua teorema-teorema lain diturunkan dari teorema ini (kira-kira seperti itu).

Ada dua pernyataan yang perlu diklarifikasi dalam Teorema Fundamental Aritmatika ini, pertama eksistensi, dan kedua keunikannya. Pernyataan lengkapnya adalah setiap bilangan bulat lebih dari $1$ adalah bilangan prima atau produk dari bilangan prima dan produk ini unik dalam artian untuk sebuah bilangan, maka hanya ada satu cara memfaktorkannya ke dalam bilangan prima.

Misalnya, 1200 hanya bisa dinyatakan ke dalam perkalian $1200 = 3 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 $.

Membuktikan bahwa ada Tak Terhingga Bilangan Prima dalam bentuk 4 n + 3

Teorema. Ada tak berhingga banyaknya bilangan prima dalam bentuk $4 n + 3$.

Sebenarnya ini merupakan teorema perluasan dari teorema Euclid bahwa ada tak berhingga jumlah bilangan prima.

Untuk membuktikan teorema ini, terdapat sebuah lemma yang harus diketahui, yakni

Lemma. Jika $a$ dan $b$ adalah dua buah bilangan bulat dalam bentuk $4n + 1$ maka produk atau hasil perkaliannya juga dalam bentuk $4 n + 1$.

Pertama kita harus ingat kembali ( maaf, postingan tentang ini nanti dibuat kemudian) bahwa setiap bilangan bulat itu berada pada dua keadaan yakni bilangan prima atau hasil perkalian dari bilangan prima (biasa disebut bilangan komposit). Misalnya $3$ itu bilangan prima, $4$ itu bilangan komposit $ 4 = 2 \cdot 2 $, $5$ itu bilangan prima, $6 = 2 \cdot 3$ bilangan komposit, $7$ bilangan prima, $8 = 2 \cdot 2 \cdot 2$ bilangan prima, $9 = 3 \cdot 3$, $10 = 2 \cdot 5$ bilangan komposit, $11$ bilangan prima, dst... dst...

Membuktikan Bahwa Bilangan e Irasional Versi Fourier

Dalam tutorial ini, saya akan memberikan penjelasan tentang pembuktian irasionalitas bilangan $e$. Ada banyak sebenarnya pembuktian irasionalitas bilangan $e$ ini, namun yang paling cantik dan paling populer itu adalah pembuktian dari Joseph Fourier ini.

Seperti kebanyakan pembuktian tentang irasionalitas lainnya, pemubuktian irasionalitas $e$ ini menggunakan metode pembuktian dengan kontradiksi. Jadi jika $e$ adalah bilangan rasional, maka tentu dapat dinyatakan sebagai perbandingan dua buah bilangan bulat positif $a$ dan $b$ yakni $e = \frac{a}{b} $. Selanjutnya Fourier mendefinisikan sebuah definisi yang cukup cantik yakni \begin{eqnarray} x = b ! \left( e - \sum_{n = 0 }^{b} \frac{1}{n !} \right) \nonumber \end{eqnarray} Tentu pembaca ada yang bertanya-tanya, dari mana Fourier mendapatkan defenisi seperti ini, kok tiba-tiba saja ada pola yang begitu menarik di awal pembuktian ini?

Membuktikan Bahwa Akar Dua Irasional Versi Euclid

Sebenarnya ini merupakan tutorial klasik yang diajarkan hampir di seluruh dunia, namun ternyata menurut salah satu pengarang buku Elektrodinamika yang bernama David J. Griffith ternyata menyimpan sebuah lelucon filosofis yang cukup halus (bisa dilihat di lampiran buku Introduction to Electrodynamics karya beliau).

Pembuktian yang biasa diajarkan di sekolah-sekolah kita itu seperti ini (pembuktian dengan kontradiksi):
1. Asumsikan bahwa $\sqrt{2}$ adalah bilangan rasional sehingga terdapat dua bilangan yang rasionya adalah $\sqrt{2}$.

Soal Matriks 2

\( \textbf{Soal} \) Tunjukkan bahwa tidak ada \( A \in M_2 (R ) \) yang memenuhi \begin{equation} A^{2004} = \left ( \begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & -2 \end{array} \right ) \end{equation} \( \textbf{Jawab} \) Jika \( A^{2004} = \left( \begin{array}{cc} - 1 & 0 \\ 0 & -2 \end{array} \right) \) Maka terdapat matriks real \( B = A^{1002} \) yang memenuhi \begin{equation} B^2 = \left( \begin{array}{cc} - 1 & 0 \\ 0 & -2 \end{array} \right) \end{equation} Akan kita tunjukkan bahwa matriks \(B\) ini tidak eksis yang yang dengan sendirinya membuktikan soal di atas. \( \\ \) Anggap \begin{equation} B = \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) \end{equation} Maka \begin{equation} B^2 = \left( \begin{array}{cc} a^2 + bc & ab + bd \\ ac + cd & d^2 + bc \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & -2 \end{array} \right) \end{equation} Tinjau elemen pada baris pertama kolom kedua pada matriks di atas. Yang mana menghasilkan \begin{equation} ab + bd = b (a - d) = 0 \end{equation} Jika \( b\ne 0 \) maka \( a = -d \) yang mengakibatkan elemen diagonal matriks di atas akan sama yakni \( a^2 + bc = d^2 + bc \) padahal tidak, karena \( -1 \ne -2 \). Sementara jika \( b \ne 0 \) maka dengan meninjau elemen pada baris pertama kolom pertama akan menghasilkan \( a^2 = -1 \) yang tidak mungkin mengingat \( a \) harus real berdasarkan soal. Jadi matriks \( A \) yang memenuhi pernyataan pada soal tidak eksis. QED

sumber: http://math.stackexchange.com/

Tutorial matriks 1

\[ \textbf{Soal} \] Buktikan bahwa \begin{equation} \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right)^n = \left( \begin{array}{cc} 1 & n \\ 0 & 1 \end{array} \right) \end{equation} \[ \textbf{Jawab} \] Untuk menjawab soal di atas kita dapat menggunakan induksi matematika, yakni yang pertama anggap bahwa pertanyaan tersebut benar untuk kasus dasar. Misalkan untuk kasus \(n = 2\) pernyataan tersebut benar yakni \begin{equation} \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right)^2 = \left( \begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \end{equation} Selanjutnya untuk \(n = k+1\) akan diperoleh \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right)^{k + 1} = \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right)^k \\ \equiv \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{cc} 1 & k \\ 0 & 1 \end{array} \right) \\ = \left( \begin{array}{cc} 1 & k + 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \end{eqnarray} Pernyataan pada baris kedua dari persamaan di atas menandakan bahwa fakta tersebut sudah benar untuk beberapa kasus dasar misalnya \(n = 2\), QED.

Sumber: math.stackexchange.com

Pembuktian Teorema Pi Leibnitz

Berikut ini adalah pembuktian teorema Leibnitz tentang nilai \(\pi \) yang dinyatakan dalam pernyataan \[ \frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots \] Pembuktian teorema di atas dapat dilakukan dengan menggunakan kalkulus sederhana, yakni dari teknik pengintegralan diketahui bahwa \[ \frac{d }{dx } (\tan^{-1} x) = \frac{1}{x^2 +1} \] dengan \(x^2 + 1\ne 0 \) Karena \( \tan 0 = 0 \) dan \( \tan \frac{\pi}{4} = 1\) akan diperoleh \[ \int_{0}^{1} \frac{dx }{x^2 + 1} = \tan^{-1} 1 - \tan^{-1} 0 = \frac{\pi}{4} \] Misalkan \[ a = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + x^8 + \cdots \] maka \[ x^2 \cdot a = x^2 - x^4 + x^6 - x^8 + \cdots \] atau \[ a + x^2 \cdot a = 1 \] sehingga \[ a = \frac{1}{1 + x^2 } \] yang menghasilkan \[ \frac{1}{1 + x^2 } = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + x^8 + \cdots \] Jadi \begin{eqnarray} \int_{0}^{1} \frac{dx }{x^2 + 1}& = \int_{0}^{1} (1) dx - \int_{0}^{1} (x^2) dx + \int_{0}^{1} (x^4) dx + \cdots \\ &= 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots \end{eqnarray} Yang mana menghasilkan \[ \frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7 } + \cdots \] QED