Membuktikan Bahwa Bilangan e Irasional Versi Fourier

Dalam tutorial ini, saya akan memberikan penjelasan tentang pembuktian irasionalitas bilangan $e$. Ada banyak sebenarnya pembuktian irasionalitas bilangan $e$ ini, namun yang paling cantik dan paling populer itu adalah pembuktian dari Joseph Fourier ini.

Seperti kebanyakan pembuktian tentang irasionalitas lainnya, pemubuktian irasionalitas $e$ ini menggunakan metode pembuktian dengan kontradiksi. Jadi jika $e$ adalah bilangan rasional, maka tentu dapat dinyatakan sebagai perbandingan dua buah bilangan bulat positif $a$ dan $b$ yakni $e = \frac{a}{b} $. Selanjutnya Fourier mendefinisikan sebuah definisi yang cukup cantik yakni \begin{eqnarray} x = b ! \left( e - \sum_{n = 0 }^{b} \frac{1}{n !} \right) \nonumber \end{eqnarray} Tentu pembaca ada yang bertanya-tanya, dari mana Fourier mendapatkan defenisi seperti ini, kok tiba-tiba saja ada pola yang begitu menarik di awal pembuktian ini?

Saya hanya bisa menebak bahwa sebagai seorang jenius tentu beliau punya semacam ilham di kepalanya tentang bagaimana hasil akhir dari pembuktian ini. Artinya mungkin beliau sudah melihat bagaimana benang merah dari pembuktian nya sebelum kemudian merangkai-rangkai jalan untuk mewujudkan pembuktian tersebut. Dan kalo dilihat memang definisi di atas mempunyai kemiripan dengan definisi deret dari bilangan $e$ itu sendiri.

Dari definisi untuk $x$ di atas kita selanjutnya dapat melihat bahwa jika $e$ adalah bilangan rasional maka $x$ adalah sebuah bilangan bulat, yakni dengan memasukkan pemisalan $e = \frac{a}{b} $ ke dalam definisi tersebut yakni: \begin{eqnarray} x = b ! \left( \frac{a}{b} \sum_{n= 0}^b \frac{1}{n !} \right) = a( b- 1) ! - \sum_{n=0}^b \frac{b !}{n!} \nonumber \end{eqnarray} Pada ruas paling kanan, suku pertama adalah bilangan bulat, dan setiap pecahan pada penjumlahan di suku kedua adalah bilangan bulat karena $n \le b $ untuk tiap-tiap suku. Sehingga $x$ adalah bilangan bulat.

Langkah kedua, kita akan membuktikan bahwa $0 < x < 1$. Pertama, untuk membuktikan bahwa $x$ itu positif, kita masukkan definisi deret dari $e$ ke dalam definisi $x$ sehingga diperoleh \begin{eqnarray} x = b ! \left( \sum_{n =0 }^\infty \frac{1}{n !} - \sum_{n = 0 }^b \frac{1}{n !} \right) = \sum_{n = b + 1}^\infty \frac{b !}{n !} > 0 \nonumber \end{eqnarray} Karena semua suku pada penjumlahan pada ruas kanan adalah positif (akibat penjumlahan dimulai dari $n = 0$).

Kemudian kita akan buktikan bahwa $x < 1$. Untuk semua suku dengan $n \ge b + 1$ terdapat batas atas yang diberikan oleh \begin{eqnarray} \frac{b !}{n !} = \frac{1}{ (b + 1) (b + 2) \cdots ( n) } = \frac{1}{ (b + 1) (b + 2) \cdots ( b + (n -b)) } < \frac{1} { (b + 1)^{n - b } } \nonumber \end{eqnarray} Yang mana berlaku untuk $n \ge b + 2 $. Sehingga bisa dikatakan \begin{eqnarray} \sum_{n = b + 1}^\infty \frac{b !}{n !} < \sum_{n = b + 1}^\infty \frac{1}{(b + 1)^{n - b }} \nonumber \end{eqnarray} Dalam penjumlahan $\sum_{n = b + 1}^\infty \frac{1}{(b + 1)^{n - b }} $ ketika $ n = b + 1$ maka suku dalam penjumlahan menjadi $ \frac{1}{(b + 1)^{ b + 1 - b }} = \frac{1}{(b + 1)^{ 1 }} $. Ketika $ n = b + 2 $ maka suku dalam penjumlahan menjadi $ \frac{1}{(b + 1)^{ b + 2 - b }} = \frac{1}{(b + 1)^{ 2 }} $ dan seterusnya sehingga kita dapat mengganti indeks penjumlahan dari $\sum_{n = b + 1}^\infty \frac{1}{(b + 1)^{n - b }} $ menjadi $\sum_{k = 1}^\infty \frac{1}{(b + 1)^k } $ jadi \begin{eqnarray} x = \sum_{n = b + 1}^\infty \frac{b !}{n !} < \sum_{n = b + 1}^\infty \frac{1}{(b + 1)^{n - b }} = \sum_{k = 1}^\infty \frac{1}{(b + 1)^k } \nonumber \end{eqnarray} Kemudian dengan menggunakan rumus untuk deret geometri diperoleh \begin{eqnarray} \sum_{k = 1}^\infty \frac{1}{(b + 1)^k } = \frac{1}{b + 1} \left( \frac{1}{1 - \frac{1}{b + 1} } \right ) = \frac{1} {b} < 1 \nonumber \end{eqnarray} Jadi $ 0 < x < 1$. Hal ini merupakan kontradiksi dari langkah sebelumnya yakni dalam memasukkan bilangan $\frac {a}{b} $ ke dalam definisi $x$ yang mana diperoleh bahwa $x $ itu adalah bilangan bulat.