Pada gambar di atas, terlihat jelas bahwa sudut \(\theta\) dapat dinyatakan sebagai fungsi \(x\) yakni
$$
\begin{equation}
\theta = 180^o -tan^{-1} \left ( \frac{2}{x} \right ) - \tan^{-1} \left( \frac{5}{3-x} \right )
\end{equation}
$$
yang nilai maksimumnya dapat dinyatakan sebagai
$$
\begin{eqnarray}
\frac{d \theta}{dx } &= & 0 + \frac{2}{x^2} \frac{1}{1 + \frac{4}{x^2} } - \frac{5}{(3 - x)^2} \cdot \frac{1}{1 + \frac{25}{(3 - x)^2}} \\
& = & \frac{2}{x^2 + 4} - \frac{5}{(3 - x)^2 + 25} = 0
\end{eqnarray}
$$
atau
\begin{eqnarray}
3 x^2 + 12 x - 12 = 0
\end{eqnarray}
yang akarnya adalah \(x = - 6 \pm 6\sqrt{2} \). Di mana yang memenuhi adalah \(x = -6 + 6 \sqrt{2} = 6 (\sqrt{2} - 1) \approx 2.4\)
Untuk mengilustrasikan jawaban tersebut, saya sudah membuat sebuah program sederhana dalam bahasa MATLAB yang sourcenya pembaca bisa coba di rumah, ditulis dengan menggunakan MATLAB 2009. Adapun sourcenya adalah:
% jawaban soal nomor 57 BAB 4.7 dari buku James Stewart kalkulus
% edisi 5
% author: Mohammad Fajar
function soal57
clc;
f = figure('menubar', 'none', 'resize', 'off', ...
'position', [200, 100, 800, 450]);
ax1 = axes('units', 'pix', 'position', [50 50 340 270]...
, 'xlim', [0 2*pi], 'ylim', [-1.5, 1.5]);
ax2 = axes('units', 'pix', 'position', [430 50 340 270]...
, 'xlim', [0 2*pi], 'ylim', [-1.5, 1.5]);
slider = uicontrol('style', 'slider', 'position', [50 380 90 20]);
text_ = uicontrol('style', 'text', 'position', [150 380 40 20 ]);
set(slider, 'value', 0.1);
set(slider, 'sliderstep', [0.05 0.05]);
ss = 0:0.01:3;
theta = 180 - atand(2./ss) - atand(5./(3- ss));
maksimum = max(theta); % jawabannya
while ishandle(f)
xx = get(slider , 'value');
xx = xx * 3;
set(text_, 'string', num2str(xx));
trigx = [0 0;5 2;0 0];
trigy = [0 3-xx;0 3;3-xx 3];
z = [1 1;1 1;1 1];
p = patch(trigx, trigy, z, 'parent', ax2);
axis([-1 ,6, -1, 4]);
thetax = 180 - atand(2./xx) - atand(5./(3 - xx));
p2 = plot(ss, theta, 'parent', ax1);
xlabel(ax1, 'x');
ylabel(ax1, '\theta');
hold on;
p3 = line([xx xx], [0 thetax], 'linewidth', 4, 'parent', ax1);
tt = text(xx+.1,thetax-3,['\theta = ', num2str(thetax)],'parent', ax1 ...
, 'fontsize', 9);
tt2 = text(0.8,3-xx,['\leftarrow \theta = ', num2str(thetax), '^o'],'parent', ax2 ...
, 'fontsize', 12);
% ini hanya untuk mengakali karena step slider dan step linspace pada
% MATLAB tidak sama :)
if floor(thetax) == floor(maksimum)
set(p3, 'color', 'r');
set(p, 'facecolor', 'y');
end
drawnow;
if ishandle(p), delete(p);end
if ishandle(p2), delete(p2);end
if ishandle(p3), delete(p3);end
if ishandle(tt), delete(tt);end
if ishandle(tt2), delete(tt2);end
end
adapaun hasil runningnya adalah:
