Siput Ngantuk: tutorial fisika

Showing posts with label tutorial fisika. Show all posts

Thursday, February 4, 2016

Penggunaan Induksi Matematika dalam fisika: Rewrite Soal no 1 chapter 7 buku Quantum Physics Gaziorowich

Nah tulisan ini sebenarnya hanya mengedit tulisan saya sebelumnya (http://fjr66.blogspot.co.id/2012/12/soal-no-1-chapter-7-buku-quantum.html). Sebenarnya saya agak bingung karena buku fisika kuantum Gaziorowich itu ada beberapa edisi, namun tidak semuanya ada soal yang dimaksud, contohnya di edisi 3 nya itu ga ada soal yang dimaksud. Masalahnya adalah saya lupa di edisi ke berapa buku tersebut soalnya muncul. Yang jelas buku fisika kuantum yang dimaksud saya beli di fotokopian di jalan Taman Sari Bandung, ga jauh dari kampus ITB (silakan pembaca liat di situ, kali aja ada).

Professor-professor fisika di Amerika sana benar-benar jago. Kerjaan mereka itu ga ada lain, hanya mencakar-mencakar-mencakar for entire their boring life, ga ada urusan cewek, urusan politik, atau urusan apa. Yang jelas cuma mencakar. Salah satu pekerjaan mereka adalah dengan membuat soal-soal guna menanamkan pemahaman konsep fisika ke para mahasiswa didikannya. Di samping itu untuk membuat fasih dalam hal problem solving dengan menggunakan bahasa matematika.

Salah satu teknik problem solving yang sangat terkenal dalam matematika itu namanya Induksi Matematika dan sudah digunakan sejak zaman Yunani Kuno (jadi sudah cukup klasik ya?). Nah ini yang ditekankan dalam soal yang diberikan pada buku Fisika Kuantum Gaziorowich tersebut.

Tanpa berbasi-basi kita masuk aja ke soalnya: Gunakan hubungan komutatif pada persamaan (7-15) dan defenisi bahwa state $u_n$ diberikan oleh persamaan (7-26) untuk membuktikan bahwa: $$ A a_n = \sqrt{n} u_{n-1} $$ Jawab:

Pertama-tama kita tunjukkan bahwa ini benar untuk $n = 1$

Dengan menggunakan persamaan (7-26), $ u_n = \frac{1}{\sqrt{n !}} \left ( {A^\text{*}} \right ) u_0 $ maka diperoleh

$$ A u_{1} = A \left ( \frac{1}{\sqrt{1}} \left ( A^{*} \right )^1 u_0 \right ) = A A^{*} u_0 = u_0 = \sqrt{1} u_{1-1} \nonumber $$ Dengan demikian pernyataan tersebut benar untuk $n = 1$. Dengan adanya base case tersebut maka dapat kita katakan pernyataannya benar untuk suatu $p$ tertentu dengan $p$ bilangan bulat. Selanjutnya

$$\begin{eqnarray} A u_{p + 1} & = & A \left ( \frac{( A^{*} )^{p +1} u_0 }{ \sqrt{( p + 1) ! }} \right ) \nonumber \\ & = & \frac{A A^{*} (A^{*})^p u_0 }{\sqrt{p + 1} \sqrt{p ! } } \nonumber \\ \end{eqnarray}$$ Sementara identitas (7-5) mengatakan $[A, A^{*}] = 1$ sehingga

$$\begin{eqnarray} A u_{p + 1} = (1 + A^{*} A) \frac{ (A^{*})^p u_0 }{\sqrt{p + 1} \sqrt{p ! } } \nonumber \end{eqnarray} $$ Kemudian dari persamaan (7.27) diketahui $A = \frac{d}{d A^{*}}$ yang mengakibatkan

$$\begin{eqnarray} A u_{p + 1} & = & (1 + \frac{d}{d A^{*}} ) \frac{ (A^{*})^p u_0 }{\sqrt{p + 1} \sqrt{p ! } } \nonumber \\ & = & (1 + p A^{*} ) \frac{ (A^{*})^{p-1} u_0 }{\sqrt{p + 1} \sqrt{p ! } } \nonumber \\ & = & (1 + p ) \frac{ (A^{*})^{p} u_0 }{\sqrt{p + 1} \sqrt{p ! } } \nonumber \\ & = & \sqrt{p + 1} \left ( \frac{ (A^{*})^{p} u_0 }{ \sqrt{p ! } } \right ) \nonumber \\ & = & \sqrt{p + 1} u_p && \text{Berdasarkan base case} \nonumber \\ & = & \sqrt{p + 1} u_{(p + 1) - 1} \nonumber \end{eqnarray} $$ Sehingga pernyataan $A a_n = \sqrt{n} u_{n-1}$ benar untuk semua $n$ $(\text{QED})$.

Wednesday, October 16, 2013

medan vektor konservatif dan simply-connected

Salah satu hal yang menarik dari kalkulus vektor adalah persoalan bagaimana menentukan apakah suatu medan vektor bersifat konservatif atau bukan. Suatu medan vektor dikatakan konservatif jika integral yang dilakukan terhadap suatu lintasan tertutup yang berada di dalam domain medan vektor tersebut tidak bergantung pada lintasan yang diambil. Salah satu ciri dari medan vektor konservatif adalah curl yang diambil terhadap medan vektor tersebut sama dengan nol, atau bisa dikatakan medan vektor tersebut irotasional. Dengan demikian medan vektor tersebut dapat dinyatakan sebagai gradient suatu medan potensial skalar karena curl dari gradient potensial pasti nol. Contoh medan vektor konservatif adalah medan listrik dan medan gravitasi bumi.

Akan Tetapi pernyataan ini tidak bisa dibalik. Kita tidak bisa memastikan suatu medan vektor bersifat konservatif hanya dengan melihat apakah curl-nya nol atau bukan. Terdapat beberapa kasus di mana suatu medan vektor memiliki curl nol akan tetapi bukanlah medan vektor konservatif. Tinjau medan vektor dua dimensi berikut: \begin{equation} \vec{F} (x,y) = \left( \frac{-y}{x^2 + y^2}\right) \hat{i} + \left( \frac{x}{x^2 + y^2}\right)\hat{j} \end{equation} Yang curl-nya adalah $$ \begin{eqnarray} \nabla \times \vec{F} &=&\left[ \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{x}{x^2 + y^2}\right) + \frac{\partial }{\partial y} \left( \frac{-y}{x^2 + y^2}\right) \right] \hat{j} \\ &=& \left[ \frac{y^2 - x^2 }{\left( x^2 + y^2 \right)^2} + \frac{y^2 - x^2 }{\left( x^2 + y^2 \right)^2} \right] \hat{j} \\ &=& 0 \end{eqnarray} $$ Kita dapat memilih suatu kurva tertutup yang masih dalam domain medan vektor $\vec{F}$ di mana integral yang diambil sepanjang kurva ini tidak sama dengan nol. Tinjau suatu kurva lingkaran $C$ yang berpusat di titik $(0, 0)$ dan berjari-jari satu satuan yang dapat diparameterisasi sebagai $$ \begin{eqnarray} \vec{F }(c(t)) &= & \frac{-\sin t }{\cos^2 t + \sin^2 t} \, \hat{i} + \frac{\cos t }{\cos^2 t + \sin^2 t } \, \hat{j} \\ &=& -\sin t \, \hat{i} + \cos t \, \hat{j} \end{eqnarray} $$ dengan $ 0 <= t <= 2 \pi $. Integral yang dilakukan sepanjang kurva ini tidak sama dengan nol yakni $$ \begin{eqnarray} \int_C \vec{F} \cdot ds & = & \int_{a}^{b} \vec{F} (c(t)) \cdot c' (t) \, dt \\ &=& \int_{0}^{2 \pi} \left( -\sin t \, \hat{i} + \cos t \, \hat{j} \right) \cdot \left( - \sin t \, \hat{i} + \cos t \, \hat{j} \right) \\ &=& \int_{0}^{2\pi } 1 \, dt = 2 \pi \end{eqnarray} $$ Yang artinya terdapat suatu kurva yang mana integral $ \int_C \vec{F} \cdot ds $ tidak sama dengan nol yang mengindikasikan bahwa vektor $ \vec{F}$ bukanlah medan vektor konservatif.

Mengapa demikian adalah karena vektor $ \vec{F} $ memiliki titik singularitas yakni pada titik $(0,0)$. Artinya adanya titik singularitas ini mengakibatkan Teorema Stokes yang menghubungkan integral lintasan dengan curl vektor tidak bisa diterapkan pada medan vektor yang bersangkutan. Curl yang sama dengan nol baru bisa dipakai untuk menandai vektor konservatif jika vektor tersebut didefenisikan pada domain yang simply-connected. Adanya titik singularitas pada contoh di atas mengakibatkan domain tersebut tidak lagi simply-connected. Maksud simply connected sendiri adalah kita dapat mereduksi sembarang kurva dalam domain 2D atau permukaan dalam domain 3D menjadi sebuah titik dan masih tetap berada dalam domain tersebut. Untuk domain 2 dimensi simply connected mengharuskan bahwa seluruh domain terdefenisi secara utuh tanpa ada hole di dalam domain. Sementara untuk domain tiga dimensi sebuah hole pada domain bisa ditoleransi asalkan hole tersebut tidak menembus sampa ke luar domain. Syarat simply-connected ini merupakan syarat mutlak bagi teorema Stokes . Pada kasus dua dimensi adanya hole mengakibatkan kita tidak lagi bisa menghubungkan integral lintasan yang mengelilingi hole tersebut dengan integral permukaan pada keseluruhan hole, karena domainnya tidak terdefenisi pada hole. Sementara pada kasus tiga dimensi, walaupun terdapat suatu hole dalam daerah tertentu kita masih bisa mencari alternatif permukaan yang tidak melalui hole akan tetapi batasannya masih pada kurva yang sama dengan permukaan yang melalui hole tersebut.

Jadi kesimpulannya: suatu medan vektor bersifat konservatif jika curl yang dilakukan pada medan vektor tersebut sama dengan nol serta domain di mana medan vektor tersebut didefenisikan harus simply-connected.

Tuesday, October 15, 2013

Perbedaan operator divergensi dengan operator laplacian

Kata orang fisika itu lebih berat di filosofinya ketimbang di matematikanya. Seorang fisikawan adalah orang yang harus bisa menggambarkan realita dengan kuas matematika atau sebaliknya mampu menangkap makna fisis dari deskripsi matematika yang diberikan. Fisika lebih jauh dari matematika, karena fisika menyangkut hakikat kebendaan suatu benda sementara matematika hanya menyangkut hitung-hitungan tanpa perlu mempertanyakan sesuatu itu punya makna atau tidak. Menjadi fisikawan ibarat menjadi seorang filsuf tingkat tinggi. Ketika ada saudara yang bertanya apa maksud bilangan imajiner pada persamaan Schroodinger, seorang matematikawan tidak akan bisa menjawabnya, tapi seorang fisikawan mengatakan bahwa eksperimen mengharuskan seperti itu. Antara fisika dan matematika itu ibarat jeruk dan nutrisari. Kita mendapati realita fisika dan kita mencari simbol yang cocok dipakai untuk menuliskan fenomena itu. \[\] Demikian pula dengan operator divergensi dan operator laplacian. Kelihatannya keduanya sama padahal tidak sama. Seperti pada kasus medan listrik. Kita dapat menuliskan pernyataan semisal \begin{equation} \nabla \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0} \end{equation} sebagai \begin{equation} \nabla^2 V = \frac{\rho}{\epsilon_0} \end{equation} Padahal yang kedua merupakan konsekuensi yang pertama: ketika curl suatu vektor sama dengan nol otomatis vektor yang bersangkutan dapat dinyatakan sebagai gradient suatu skalar atau \begin{equation} \nabla \times \vec{E} = 0 \Rightarrow \vec{E} = \nabla V \end{equation} Jadi kita tidak mungkin menyatakan bahwa \begin{equation} \nabla \cdot \vec{B} = 0 \Rightarrow \nabla^2 W = 0 \end{equation} dengan $W$ suatu potensial. Hal ini karena \begin{equation} \nabla \times \vec{B} \ne 0 \end{equation} Divergensi suatu (medan) vektor yang sama dengan nol menandakan tidak adanya source atau sink pada medan tersebut. Atau jika kita meninjau volume infinitesimal yang dialiri suatu medan, kita dapat mengatakan bahwa laju fluks yang masuk ke dalam volume infinitesimal sama dengan laju fluks yang keluar dari volume infinitesimal. Hal ini berbeda dengan operator Laplacian yang sama dengan nol yang maksudnya adalah keadaan kesetimbangan sistem yang mana nilai potensial pada suatu titik merupakan nilai rata-rata dari potensial pada titik-titik sekitarnya. Laplacian menyatakan curvature dari suatu potensial. Jika slope menyatakan perubahan suatu potensial terhadap jarak spasial pada ruang, maka laplacian menyatakan perubahan slope tersebut terhadap jarak spasial. Jadi jika nilainya sama dengan nol itu artinya nilai potensial dalam ruang tidak berubah atau berada dalam keadaan kesetimbangan.