medan vektor konservatif dan simply-connected

Salah satu hal yang menarik dari kalkulus vektor adalah persoalan bagaimana menentukan apakah suatu medan vektor bersifat konservatif atau bukan. Suatu medan vektor dikatakan konservatif jika integral yang dilakukan terhadap suatu lintasan tertutup yang berada di dalam domain medan vektor tersebut tidak bergantung pada lintasan yang diambil. Salah satu ciri dari medan vektor konservatif adalah curl yang diambil terhadap medan vektor tersebut sama dengan nol, atau bisa dikatakan medan vektor tersebut irotasional. Dengan demikian medan vektor tersebut dapat dinyatakan sebagai gradient suatu medan potensial skalar karena curl dari gradient potensial pasti nol. Contoh medan vektor konservatif adalah medan listrik dan medan gravitasi bumi.

Akan Tetapi pernyataan ini tidak bisa dibalik. Kita tidak bisa memastikan suatu medan vektor bersifat konservatif hanya dengan melihat apakah curl-nya nol atau bukan. Terdapat beberapa kasus di mana suatu medan vektor memiliki curl nol akan tetapi bukanlah medan vektor konservatif. Tinjau medan vektor dua dimensi berikut: \begin{equation} \vec{F} (x,y) = \left( \frac{-y}{x^2 + y^2}\right) \hat{i} + \left( \frac{x}{x^2 + y^2}\right)\hat{j} \end{equation} Yang curl-nya adalah $$ \begin{eqnarray} \nabla \times \vec{F} &=&\left[ \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{x}{x^2 + y^2}\right) + \frac{\partial }{\partial y} \left( \frac{-y}{x^2 + y^2}\right) \right] \hat{j} \\ &=& \left[ \frac{y^2 - x^2 }{\left( x^2 + y^2 \right)^2} + \frac{y^2 - x^2 }{\left( x^2 + y^2 \right)^2} \right] \hat{j} \\ &=& 0 \end{eqnarray} $$ Kita dapat memilih suatu kurva tertutup yang masih dalam domain medan vektor \(\vec{F}\) di mana integral yang diambil sepanjang kurva ini tidak sama dengan nol. Tinjau suatu kurva lingkaran \(C\) yang berpusat di titik \((0, 0)\) dan berjari-jari satu satuan yang dapat diparameterisasi sebagai $$ \begin{eqnarray} \vec{F }(c(t)) &= & \frac{-\sin t }{\cos^2 t + \sin^2 t} \, \hat{i} + \frac{\cos t }{\cos^2 t + \sin^2 t } \, \hat{j} \\ &=& -\sin t \, \hat{i} + \cos t \, \hat{j} \end{eqnarray} $$ dengan \( 0 <= t <= 2 \pi \). Integral yang dilakukan sepanjang kurva ini tidak sama dengan nol yakni $$ \begin{eqnarray} \int_C \vec{F} \cdot ds & = & \int_{a}^{b} \vec{F} (c(t)) \cdot c' (t) \, dt \\ &=& \int_{0}^{2 \pi} \left( -\sin t \, \hat{i} + \cos t \, \hat{j} \right) \cdot \left( - \sin t \, \hat{i} + \cos t \, \hat{j} \right) \\ &=& \int_{0}^{2\pi } 1 \, dt = 2 \pi \end{eqnarray} $$ Yang artinya terdapat suatu kurva yang mana integral \( \int_C \vec{F} \cdot ds \) tidak sama dengan nol yang mengindikasikan bahwa vektor \( \vec{F}\) bukanlah medan vektor konservatif.

Mengapa demikian adalah karena vektor \( \vec{F} \) memiliki titik singularitas yakni pada titik \((0,0)\). Artinya adanya titik singularitas ini mengakibatkan Teorema Stokes yang menghubungkan integral lintasan dengan curl vektor tidak bisa diterapkan pada medan vektor yang bersangkutan. Curl yang sama dengan nol baru bisa dipakai untuk menandai vektor konservatif jika vektor tersebut didefenisikan pada domain yang simply-connected. Adanya titik singularitas pada contoh di atas mengakibatkan domain tersebut tidak lagi simply-connected. Maksud simply connected sendiri adalah kita dapat mereduksi sembarang kurva dalam domain 2D atau permukaan dalam domain 3D menjadi sebuah titik dan masih tetap berada dalam domain tersebut. Untuk domain 2 dimensi simply connected mengharuskan bahwa seluruh domain terdefenisi secara utuh tanpa ada hole di dalam domain. Sementara untuk domain tiga dimensi sebuah hole pada domain bisa ditoleransi asalkan hole tersebut tidak menembus sampa ke luar domain. Syarat simply-connected ini merupakan syarat mutlak bagi teorema Stokes . Pada kasus dua dimensi adanya hole mengakibatkan kita tidak lagi bisa menghubungkan integral lintasan yang mengelilingi hole tersebut dengan integral permukaan pada keseluruhan hole, karena domainnya tidak terdefenisi pada hole. Sementara pada kasus tiga dimensi, walaupun terdapat suatu hole dalam daerah tertentu kita masih bisa mencari alternatif permukaan yang tidak melalui hole akan tetapi batasannya masih pada kurva yang sama dengan permukaan yang melalui hole tersebut.

Jadi kesimpulannya: suatu medan vektor bersifat konservatif jika curl yang dilakukan pada medan vektor tersebut sama dengan nol serta domain di mana medan vektor tersebut didefenisikan harus simply-connected.