Perbedaan operator divergensi dengan operator laplacian

Kata orang fisika itu lebih berat di filosofinya ketimbang di matematikanya. Seorang fisikawan adalah orang yang harus bisa menggambarkan realita dengan kuas matematika atau sebaliknya mampu menangkap makna fisis dari deskripsi matematika yang diberikan. Fisika lebih jauh dari matematika, karena fisika menyangkut hakikat kebendaan suatu benda sementara matematika hanya menyangkut hitung-hitungan tanpa perlu mempertanyakan sesuatu itu punya makna atau tidak. Menjadi fisikawan ibarat menjadi seorang filsuf tingkat tinggi. Ketika ada saudara yang bertanya apa maksud bilangan imajiner pada persamaan Schroodinger, seorang matematikawan tidak akan bisa menjawabnya, tapi seorang fisikawan mengatakan bahwa eksperimen mengharuskan seperti itu. Antara fisika dan matematika itu ibarat jeruk dan nutrisari. Kita mendapati realita fisika dan kita mencari simbol yang cocok dipakai untuk menuliskan fenomena itu. \[\] Demikian pula dengan operator divergensi dan operator laplacian. Kelihatannya keduanya sama padahal tidak sama. Seperti pada kasus medan listrik. Kita dapat menuliskan pernyataan semisal \begin{equation} \nabla \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0} \end{equation} sebagai \begin{equation} \nabla^2 V = \frac{\rho}{\epsilon_0} \end{equation} Padahal yang kedua merupakan konsekuensi yang pertama: ketika curl suatu vektor sama dengan nol otomatis vektor yang bersangkutan dapat dinyatakan sebagai gradient suatu skalar atau \begin{equation} \nabla \times \vec{E} = 0 \Rightarrow \vec{E} = \nabla V \end{equation} Jadi kita tidak mungkin menyatakan bahwa \begin{equation} \nabla \cdot \vec{B} = 0 \Rightarrow \nabla^2 W = 0 \end{equation} dengan \(W\) suatu potensial. Hal ini karena \begin{equation} \nabla \times \vec{B} \ne 0 \end{equation} Divergensi suatu (medan) vektor yang sama dengan nol menandakan tidak adanya source atau sink pada medan tersebut. Atau jika kita meninjau volume infinitesimal yang dialiri suatu medan, kita dapat mengatakan bahwa laju fluks yang masuk ke dalam volume infinitesimal sama dengan laju fluks yang keluar dari volume infinitesimal. Hal ini berbeda dengan operator Laplacian yang sama dengan nol yang maksudnya adalah keadaan kesetimbangan sistem yang mana nilai potensial pada suatu titik merupakan nilai rata-rata dari potensial pada titik-titik sekitarnya. Laplacian menyatakan curvature dari suatu potensial. Jika slope menyatakan perubahan suatu potensial terhadap jarak spasial pada ruang, maka laplacian menyatakan perubahan slope tersebut terhadap jarak spasial. Jadi jika nilainya sama dengan nol itu artinya nilai potensial dalam ruang tidak berubah atau berada dalam keadaan kesetimbangan.

Soal Matriks 2

\( \textbf{Soal} \) Tunjukkan bahwa tidak ada \( A \in M_2 (R ) \) yang memenuhi \begin{equation} A^{2004} = \left ( \begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & -2 \end{array} \right ) \end{equation} \( \textbf{Jawab} \) Jika \( A^{2004} = \left( \begin{array}{cc} - 1 & 0 \\ 0 & -2 \end{array} \right) \) Maka terdapat matriks real \( B = A^{1002} \) yang memenuhi \begin{equation} B^2 = \left( \begin{array}{cc} - 1 & 0 \\ 0 & -2 \end{array} \right) \end{equation} Akan kita tunjukkan bahwa matriks \(B\) ini tidak eksis yang yang dengan sendirinya membuktikan soal di atas. \( \\ \) Anggap \begin{equation} B = \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) \end{equation} Maka \begin{equation} B^2 = \left( \begin{array}{cc} a^2 + bc & ab + bd \\ ac + cd & d^2 + bc \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & -2 \end{array} \right) \end{equation} Tinjau elemen pada baris pertama kolom kedua pada matriks di atas. Yang mana menghasilkan \begin{equation} ab + bd = b (a - d) = 0 \end{equation} Jika \( b\ne 0 \) maka \( a = -d \) yang mengakibatkan elemen diagonal matriks di atas akan sama yakni \( a^2 + bc = d^2 + bc \) padahal tidak, karena \( -1 \ne -2 \). Sementara jika \( b \ne 0 \) maka dengan meninjau elemen pada baris pertama kolom pertama akan menghasilkan \( a^2 = -1 \) yang tidak mungkin mengingat \( a \) harus real berdasarkan soal. Jadi matriks \( A \) yang memenuhi pernyataan pada soal tidak eksis. QED

sumber: http://math.stackexchange.com/

Tutorial matriks 1

\[ \textbf{Soal} \] Buktikan bahwa \begin{equation} \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right)^n = \left( \begin{array}{cc} 1 & n \\ 0 & 1 \end{array} \right) \end{equation} \[ \textbf{Jawab} \] Untuk menjawab soal di atas kita dapat menggunakan induksi matematika, yakni yang pertama anggap bahwa pertanyaan tersebut benar untuk kasus dasar. Misalkan untuk kasus \(n = 2\) pernyataan tersebut benar yakni \begin{equation} \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right)^2 = \left( \begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \end{equation} Selanjutnya untuk \(n = k+1\) akan diperoleh \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right)^{k + 1} = \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right)^k \\ \equiv \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{cc} 1 & k \\ 0 & 1 \end{array} \right) \\ = \left( \begin{array}{cc} 1 & k + 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \end{eqnarray} Pernyataan pada baris kedua dari persamaan di atas menandakan bahwa fakta tersebut sudah benar untuk beberapa kasus dasar misalnya \(n = 2\), QED.

Sumber: math.stackexchange.com

Pembuktian Teorema Pi Leibnitz

Berikut ini adalah pembuktian teorema Leibnitz tentang nilai \(\pi \) yang dinyatakan dalam pernyataan \[ \frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots \] Pembuktian teorema di atas dapat dilakukan dengan menggunakan kalkulus sederhana, yakni dari teknik pengintegralan diketahui bahwa \[ \frac{d }{dx } (\tan^{-1} x) = \frac{1}{x^2 +1} \] dengan \(x^2 + 1\ne 0 \) Karena \( \tan 0 = 0 \) dan \( \tan \frac{\pi}{4} = 1\) akan diperoleh \[ \int_{0}^{1} \frac{dx }{x^2 + 1} = \tan^{-1} 1 - \tan^{-1} 0 = \frac{\pi}{4} \] Misalkan \[ a = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + x^8 + \cdots \] maka \[ x^2 \cdot a = x^2 - x^4 + x^6 - x^8 + \cdots \] atau \[ a + x^2 \cdot a = 1 \] sehingga \[ a = \frac{1}{1 + x^2 } \] yang menghasilkan \[ \frac{1}{1 + x^2 } = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + x^8 + \cdots \] Jadi \begin{eqnarray} \int_{0}^{1} \frac{dx }{x^2 + 1}& = \int_{0}^{1} (1) dx - \int_{0}^{1} (x^2) dx + \int_{0}^{1} (x^4) dx + \cdots \\ &= 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots \end{eqnarray} Yang mana menghasilkan \[ \frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7 } + \cdots \] QED

Persamaan Schrodinger untuk partikel bebas

Dalam domain 3D, persamaan Schroodinger dapat dituliskan sebagai \begin{eqnarray} -\frac{\hbar^2}{2m } \nabla^2 \psi (\vec{r})= E \psi (\vec{r}) \\ \nabla^2 \psi (\vec{r} ) = - \frac{2m}{\hbar^2} E \psi (\vec{r}) = -k^2 \psi (\vec{r}) \end{eqnarray} Dengan melakukan separasi variabel kita dapat menganggap solusi persamaan di atas sebagai \[ \psi (\vec{r}) = \psi (x, y ,z) = X(x)Y(y)Z(z) \] Sehingga persaman Shcroodinger dapat dituliskan menjadi \[ \left ( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}\right ) Z(x) Y(y) Z(z) = -k^2 X(x) Y(y)Z(z) \] atau jika dibagi dengan \( X(x)Y(y)Z(z)\) diperoleh \[ \frac{1}{X(x)} \frac{\partial^2 X(x)}{\partial x^2} + \frac{1}{Y(y)} \frac{\partial^2 Y(y) }{\partial y^2} + \frac{1}{Z(z)} \frac{\partial^2 Z(z)}{\partial z^2} = - k^2 \] Jika \(k^2\) dinyatakan sebagai \[ k^2 = k_x^2 + k_y^2 + k_z^2 \] Maka akan diperoleh \[ \left [ \frac{1}{X(x)} \frac{\partial^2 X(x)}{\partial x^2} + k_x^2 \right] + \left[ \frac{1}{Y(y)} \frac{\partial^2 Y(y)}{\partial y^2} + k_y^2\right ] + \left[ \frac{1}{Z(z)} \frac{\partial^2 Z(z)}{\partial z^2} + k_z^2 \right] = 0 \] Karena masing-masing suku pada persamaan di atas hanya bergantung pada satu variabel, sehingga agar secara simultan penjumlahan ketiga suku menghasilkan nilai nol untuk berapapun nilai \(x, y , z\) yang dimasukkan maka masing-masing suku haruslah sama dengan nol. Atau \[ \frac{1}{X(x)} \frac{\partial^2 X(x)}{\partial x^2} + k_x^2 = 0 \Rightarrow X(x) = A_1 e^{i k_x x} \] \[ \frac{1}{Y(y)} \frac{\partial^2 Y(y)}{\partial y^2} + k_y^2 = 0 \Rightarrow Y(y) = A_2 e^{i k_y y} \] \[ \frac{1}{Z(z)} \frac{\partial^2 Z(z)}{\partial z^2} + k_z^2 = 0 \Rightarrow Z(z) = A_3 e^{i k_z z} \] Yang mana ketiganya merupakan fungsi harmonik. Jadi dengan mensubstitusikan hasil ini pada asumsi sebelumnya diperoleh penyelesaian persamaan Schroodinger untuk kasus partikel bebas dalam domain 3D yakni \[ \psi (\vec{r}) = X(x) Y(y) Z(z) =\mathcal{A} e^{i (k_x x + k_y y + k_z z)} = \mathcal{A} e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}} \] dengan \[ |\vec{k}|^2 = k_x^2 + k_y^2 + k_z^2 \] yang mana memberikan nilai energi sebagai \[ E = \frac{\hbar^2 }{2m} \left ( k_x^2 + k_y^2 + k_z^2 \right ) \]

Elegi penggunaan Latex part III

Kali ini saya ingin melanjutkan tulisan saya sebelumnya yang mencoba mengajak pada pembaca tentang betapa pentingnya menulis pake Latex.
Sebenarnya di internet sudah ada alat lain yang bisa digunakan untuk menulis latex selain menggunakan koding manual. Nama alat ini adalah Lyx. Sebelum saya mengenal Latex sudah terlebih dahulu saya mengenal Lyx, sayangnya saya g tau cara pakenya karena saya g familiar dengan sintax Latex. Sekarang pun walau saya udah tahu syntax Latex, tapi tetap aja saya bingung pake Lyx. Mungkin pembaca yang lebih berpengalaman sudah sangat familiar sehingga tidak kesulitan.
Masalahnya kemarin sampe kenapa saya tidak jadi beralih ke Lyx adalah karena saya pengen membuat cheatsheet untuk ujian. Saya bingung gimana ngaturnya biar bisa sekecil mungkin di Lyx. Akhirnya terpaksa saya koding manual pake Latex editor (tex studio) dan jadi deh yang bisa anda baca di sini:
https://docs.google.com/file/d/0B1irLqfPwjq0UWdwZ0hYR21DMk0/edit
Adapun source latex-nya anda bisa liat di sini:
https://gist.github.com/fjr66/6654227
Saya tidak katakan hal ini g bisa dilakukan di Lyx, cuman untuk pengalaman saya kemarin, saya g bisa. Makanya saya langsung koding aja di latex editor.
Di  samping itu --- untuk coder tahap lanjut --- Lyx itu sudah terintegrasi antara editor dan compilernya. Jadi bagi yang biasa di Linux g akan bisa merasakan penggunaan editor-editor yang tersedia di Linux, semisal gnu Emacs atau vi editor yang punya fasilitas yang sangat keren untuk dilewatkan. Dan tentunya bisa juga digunakan untuk menulis Latex.

Java Parallel fork/join

Dalam Tulisan kali ini saya ingin sedikit berbagi pengalaman tentang hal-hal terbaru yang nanti akan keluar di java 8. Seperti kita ketahui, nanti rencananya akan ada sedikit pembaruan terhadap rilis selanjutnya dari java, antara lain adanya lambda expression, bulk operation, method-reference, dan yang paling keren nanti adalah adanya optimasi parallel-computing dengan bantuan teknik fork/join.

Optimisasi dengan metode fork/join ini mengambil keuntungan dari kemampuan multicore processor. Sehingga multithread tidak dicoding secara manual, akan tetapi tinggal menerapkan implementasinya.  Agar bisa menggunakan konsep fork/join ini, terlebih dahulu anda harus menyediakan jdk8 beserta IDE yang sesuai. Bagi pengguna eclipse petunjuknya bisa dilihat di link berikut:
 http://www.oracle.com/technetwork/articles/java/lambda-1984522.html

Setelah saya mencoba mengimplementasikan teknik ini pada sebuah  percobaan sederhana, yakni simulasi SPH, ternyata terdapat perbedaan yang cukup signifikan antara menggunakan teknik ini dengan tidak menggunakan teknik ini. Dalam simulasi SPH tersebut, partikel yang digunakan sejumlah 2500. Ketika tidak menggunakan teknik fork/join simulasi yang dilakukan agak tersendat-sendat. Hal ini dapat dilihat pada video berikut:



Sementara ketika teknik fork/join digunakan hasil simulasinya menjadi mulus, yang dapat dilihat pada video berikut:



Adapun sedikit potongan kode bagaimana mengimplementasikan konsep ini ke dalam project yang dibuat---disamping sudah dijelaskan pada tutorial di atas---dapat dilihat pada snippet berikut:

Barnes-hut tree in JavaFX

Pada kesempatan kali ini saya akan membagikan sedikit pengalaman saya dalam javaFX kepada pembaca semua yang mungkin bisa mengambil manfaat. Sekaligus mempopulerkan blog saya ini.
Yang saya akan ungkapkan kali ini adalah algoritma barnes-hut yang merupakan algoritma yang biasa digunakan dalam software-software simulasi fisika (semisal molekular dinamik dan semisalnya) [1].

Kali ini saya belum membahas tentang bagaimana algoritma tersebut digunakan untuk menghitung interaksi dalam simulasi. Akan tetapi yang saya lakukan adalah memberi gambaran dasar bagaimana algoritma tersebut bekerja. Tepatnya saya akan melakukan penggambaran animasi barnes-hut tree yang merupakan elemen inti dari algoritma ini.

Mengapa algoritma ini digunakan, adalah karena efisiensinya yang lebih bagus ketimbang skema brute-force yang biasa kita gunakan. Di mana kalo pake brute-force itu kompleksitasnya sampe O(N^2) maka dalam barnes-hut ini, kompleksitasnya adalah O(N log N).



Untuk source-nya dapat anda download di link berikut:
https://docs.google.com/file/d/0B1irLqfPwjq0YXA0emt2WWMtNkU/edit?usp=sharing


Referensi:
1. http://arborjs.org/docs/barnes-hut

Cara sortir di Java

Tanpa perlu basa-basi saya akan memberikan sedikit tutorial yakni bagaimana cara menyortir list di java. Seperti kita ketahui list itu sendiri merupakan suatu kumpulan objek. Untuk keperluan sortir sendiri, java sudah menyediakan fasilitas built-in ke kita. Yakni dengan menggunakan utilitas pada java Collections. Berdasarkan informasi yang saya peroleh, algoritma yang digunakan dalam java sorting ini adalah merge sort [1]. Tanpa perlu berbasa basi saudara tinggal menyalin contoh berikut dan langsung di running di komputer anda.

Jika sudah maka hasil yang akan ditampilkan adalah sebagai berikut:

1. http://www.coderanch.com/t/520171/java/java/Collections-sort-merge-sort-insteadof

Animasi Bola Biliard dengan JavaFX

Kali ini saya akan memberikan sebuah tutorial mengenai bagaimana membuat animasi bola billiard dengan javaFX yang preview-nya dapat dilihat pada gambar berikut:

 

Adapun source codenya adalah sebagai berikut:

package fjr.collision;

import java.util.ArrayList;
import java.util.Random;

import javafx.animation.KeyFrame;
import javafx.animation.Timeline;
import javafx.application.Application;
import javafx.event.ActionEvent;
import javafx.event.EventHandler;
import javafx.scene.Group;
import javafx.scene.Scene;
import javafx.scene.control.Button;
import javafx.scene.control.ButtonBuilder;
import javafx.scene.shape.Circle;
import javafx.scene.shape.CircleBuilder;
import javafx.stage.Stage;
import javafx.util.Duration;

public class BilliardBallDetection extends Application {

  ArrayList listParticle;
 ArrayList listCircle; 

 double xwidth = 400;
 double ywidth = 400;

 double timeStep = 2.5;
 double numberParticle = 9;
 Random rand = new Random();

 double dmin = 30.0;

 double xmax = xwidth;
 double xmin = 0.0;
 double ymax = ywidth;
 double ymin = 0.0;
 double size = 0.0;

 double dmax = 0.0;
 
 double vmax = 3.0; 


 Timeline animation; 
 Button buttonPause, buttonPlay; 
 
 @Override
 public void start(Stage primarySrage) throws Exception {
  // TODO Auto-generated method stub
  generateParticle();
  removeOverlap(listParticle);
  generateCircle();
  
  Group root = new Group(); 
  for(int i =0; i< listCircle.size(); i++){
   Circle c = listCircle.get(i); 
   root.getChildren().add(c); 
  }
  
  animation = new Timeline(); 
  animation.setCycleCount(Timeline.INDEFINITE);
  animation.setAutoReverse(false);
  
  KeyFrame kf = new KeyFrame(Duration.millis(20), new EventHandler(){

   @Override
   public void handle(ActionEvent event) {
    // TODO Auto-generated method stub
    checkBoundary();
    calculateCollision();
    moveParticle(); 
    redrawCircle();
   }
   
  }); 

  animation.getKeyFrames().add(kf); 
  
  root.getChildren().addAll(buttonPlay = ButtonBuilder.create()
    .text("PLAY").onAction(new EventHandler() {

     @Override
     public void handle(ActionEvent arg0) {
      // TODO Auto-generated method stub
      animation.play();
     }
    }).translateX(10).translateY(10)
    .build(), 
    buttonPause = ButtonBuilder.create()
    
    .text("PAUSE").translateX(80).translateY(10)
    .onAction(new EventHandler() {

     @Override
     public void handle(ActionEvent arg0) {
      // TODO Auto-generated method stub
      animation.pause();
     }
    })
    .build() 

    ); 
  primarySrage.setScene(new Scene(root, xwidth, ywidth));
  primarySrage.show();
 }
 
 private void redrawCircle(){
  for(int i=0; i< listCircle.size(); i++){
   Circle c = listCircle.get(i); 
   Particle  p  = listParticle.get(i); 
   c.setCenterX(p.x);
   c.setCenterY(p.y);
  }
 }
 
 
 private void generateCircle(){
  listCircle = new ArrayList<>(); 
  for(int i=0; i< listParticle.size(); i++){
   Particle p = listParticle.get(i); 
   Circle c = CircleBuilder.create()
     .centerX(p.x).centerY(p.y).radius(dmin)
     .build(); 
   listCircle.add(c);
  }
 }

 private void generateParticle() {
  listParticle = new ArrayList<>();
  for (int i = 0; i < numberParticle; i++) {
   Particle particle = new Particle(rand.nextDouble() * xwidth,
     rand.nextDouble() * ywidth, rand.nextDouble() * vmax,
     rand.nextDouble() * vmax);
   listParticle.add(particle);
  }
 }


 private void calculateCollision(){
  for(int i=0; i< listParticle.size(); i++){
   Particle p1  = listParticle.get(i); 
   for(int j= i+1; j< listParticle.size(); j++ ){
    Particle p2 = listParticle.get(j); 
    chekCollision(p1, p2);
   }
  }
 }
 
 public void chekCollision(Particle p1, Particle p2) {
  
  if (isOverlap(p1, p2)) {
   
   double deltaX = p1.x - p2.x;
   double deltaY = p1.y - p2.y;
   double distance =  Math.sqrt(deltaX * deltaX + deltaY * deltaY);
   deltaX = deltaX/ distance;
   deltaY = deltaY/distance; 
   
   double aci = p1.vx * deltaX + p1.vy * deltaY; 
   double bci = p2.vx * deltaX + p2.vy * deltaY; 
   
   double acf = bci; 
   double bcf = aci; 
   
   p1.vx = p1.vx + (acf - aci) * deltaX; 
   p1.vy = p1.vy + (acf - aci) * deltaY; 
   p2.vx = p2.vx + (bcf - bci) * deltaX; 
   p2.vy = p2.vy + (bcf - bci) * deltaY;
  }
 }

 private void moveParticle() {
  for (int i = 0; i < listParticle.size(); i++) {
   Particle p = listParticle.get(i);
   p.x += p.vx * timeStep;
   p.y += p.vy * timeStep;
  }
 }


 public void removeOverlap(ArrayList list) {
  for (int i = 0; i < list.size(); i++) {
   Particle p1 = list.get(i);
   for (int j = list.size() - 1; j > i; j--) {
    Particle p2 = list.get(j);
    if(isOverlap(p1, p2))
     list.remove(j); 
   }
  }
 }
 
 public void checkBoundary(){
  for(int i =0; i< listParticle.size() ;i++){
   Particle p = listParticle.get(i); 
   if(p.x > xmax - dmin)
    p.vx = -Math.abs(p.vx) ;
   if(p.x < xmin + dmin)
    p.vx = Math.abs(p.vx); 
   if(p.y > ymax - dmin)
    p.vy = - Math.abs(p.vy);
   if(p.y < ymin + dmin)
    p.vy = Math.abs(p.vy); 
  }
 }
 
 private boolean isOverlap(Particle p1, Particle p2){
  double deltax = p1.x - p2.x; 
  double deltay = p1.y - p2.y; 
  if(deltax * deltax + deltay * deltay < 4 * dmin * dmin)
   return true; 
  return false; 
 }
 
 public static void main(String[] args) {
  launch(args);
 }

 private class Particle {
  double x = 0.0;
  double y = 0.0;
  double vx = 0.0;
  double vy = 0.0;
  public Particle(double x, double y , double vx , double vy ) {
   this.x = x;
   this.y = y;
   this.vx  = vx ;
   this.vy = vy; 
  }
 }
}