Pembuktian Teorema Pi Leibnitz

Berikut ini adalah pembuktian teorema Leibnitz tentang nilai $\pi$ yang dinyatakan dalam pernyataan $$\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots$$ Pembuktian teorema di atas dapat dilakukan dengan menggunakan kalkulus sederhana, yakni dari teknik pengintegralan diketahui bahwa $$\frac{d }{dx } (\tan^{-1} x) = \frac{1}{x^2 +1}$$ dengan $x^2 + 1\ne 0$ Karena $\tan 0 = 0$ dan $\tan \frac{\pi}{4} = 1$ akan diperoleh $$\int_{0}^{1} \frac{dx }{x^2 + 1} = \tan^{-1} 1 - \tan^{-1} 0 = \frac{\pi}{4}$$ Misalkan $$a = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + x^8 + \cdots$$ maka $$x^2 \cdot a = x^2 - x^4 + x^6 - x^8 + \cdots$$ atau $$a + x^2 \cdot a = 1$$ sehingga $$a = \frac{1}{1 + x^2 }$$ yang menghasilkan $$\frac{1}{1 + x^2 } = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + x^8 + \cdots$$ Jadi $$\begin{eqnarray} \int_{0}^{1} \frac{dx }{x^2 + 1}& = \int_{0}^{1} (1) dx - \int_{0}^{1} (x^2) dx + \int_{0}^{1} (x^4) dx + \cdots \\ &= 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots \end{eqnarray}$$ Yang mana menghasilkan $$\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7 } + \cdots$$ QED