Persamaan Schrodinger untuk partikel bebas

Dalam domain 3D, persamaan Schroodinger dapat dituliskan sebagai $$\begin{eqnarray} -\frac{\hbar^2}{2m } \nabla^2 \psi (\vec{r})= E \psi (\vec{r}) \\ \nabla^2 \psi (\vec{r} ) = - \frac{2m}{\hbar^2} E \psi (\vec{r}) = -k^2 \psi (\vec{r}) \end{eqnarray}$$ Dengan melakukan separasi variabel kita dapat menganggap solusi persamaan di atas sebagai $$\psi (\vec{r}) = \psi (x, y ,z) = X(x)Y(y)Z(z)$$ Sehingga persaman Shcroodinger dapat dituliskan menjadi $$\left ( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}\right ) Z(x) Y(y) Z(z) = -k^2 X(x) Y(y)Z(z)$$ atau jika dibagi dengan $X(x)Y(y)Z(z)$ diperoleh $$\frac{1}{X(x)} \frac{\partial^2 X(x)}{\partial x^2} + \frac{1}{Y(y)} \frac{\partial^2 Y(y) }{\partial y^2} + \frac{1}{Z(z)} \frac{\partial^2 Z(z)}{\partial z^2} = - k^2$$ Jika $k^2$ dinyatakan sebagai $$k^2 = k_x^2 + k_y^2 + k_z^2$$ Maka akan diperoleh $$\left [ \frac{1}{X(x)} \frac{\partial^2 X(x)}{\partial x^2} + k_x^2 \right] + \left[ \frac{1}{Y(y)} \frac{\partial^2 Y(y)}{\partial y^2} + k_y^2\right ] + \left[ \frac{1}{Z(z)} \frac{\partial^2 Z(z)}{\partial z^2} + k_z^2 \right] = 0$$ Karena masing-masing suku pada persamaan di atas hanya bergantung pada satu variabel, sehingga agar secara simultan penjumlahan ketiga suku menghasilkan nilai nol untuk berapapun nilai $x, y , z$ yang dimasukkan maka masing-masing suku haruslah sama dengan nol. Atau $$\frac{1}{X(x)} \frac{\partial^2 X(x)}{\partial x^2} + k_x^2 = 0 \Rightarrow X(x) = A_1 e^{i k_x x}$$ $$\frac{1}{Y(y)} \frac{\partial^2 Y(y)}{\partial y^2} + k_y^2 = 0 \Rightarrow Y(y) = A_2 e^{i k_y y}$$ $$\frac{1}{Z(z)} \frac{\partial^2 Z(z)}{\partial z^2} + k_z^2 = 0 \Rightarrow Z(z) = A_3 e^{i k_z z}$$ Yang mana ketiganya merupakan fungsi harmonik. Jadi dengan mensubstitusikan hasil ini pada asumsi sebelumnya diperoleh penyelesaian persamaan Schroodinger untuk kasus partikel bebas dalam domain 3D yakni $$\psi (\vec{r}) = X(x) Y(y) Z(z) =\mathcal{A} e^{i (k_x x + k_y y + k_z z)} = \mathcal{A} e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}}$$ dengan $$|\vec{k}|^2 = k_x^2 + k_y^2 + k_z^2$$ yang mana memberikan nilai energi sebagai $$E = \frac{\hbar^2 }{2m} \left ( k_x^2 + k_y^2 + k_z^2 \right )$$