Dengan melakukan separasi variabel kita dapat menganggap solusi persamaan di atas sebagai
ψ(→r)=ψ(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)
Sehingga persaman Shcroodinger dapat dituliskan menjadi
(∂2∂x2+∂2∂y2+∂2∂z2)Z(x)Y(y)Z(z)=−k2X(x)Y(y)Z(z)
atau jika dibagi dengan X(x)Y(y)Z(z) diperoleh
1X(x)∂2X(x)∂x2+1Y(y)∂2Y(y)∂y2+1Z(z)∂2Z(z)∂z2=−k2
Jika k2 dinyatakan sebagai
k2=k2x+k2y+k2z
Maka akan diperoleh
[1X(x)∂2X(x)∂x2+k2x]+[1Y(y)∂2Y(y)∂y2+k2y]+[1Z(z)∂2Z(z)∂z2+k2z]=0
Karena masing-masing suku pada persamaan di atas hanya bergantung pada satu variabel, sehingga agar secara simultan penjumlahan ketiga suku menghasilkan nilai nol untuk berapapun nilai x,y,z yang dimasukkan maka masing-masing suku haruslah sama dengan nol. Atau
1X(x)∂2X(x)∂x2+k2x=0⇒X(x)=A1eikxx
1Y(y)∂2Y(y)∂y2+k2y=0⇒Y(y)=A2eikyy
1Z(z)∂2Z(z)∂z2+k2z=0⇒Z(z)=A3eikzz
Yang mana ketiganya merupakan fungsi harmonik. Jadi dengan mensubstitusikan hasil ini pada asumsi sebelumnya diperoleh penyelesaian persamaan Schroodinger untuk kasus partikel bebas dalam domain 3D yakni
ψ(→r)=X(x)Y(y)Z(z)=Aei(kxx+kyy+kzz)=Aei→k⋅→r
dengan
|→k|2=k2x+k2y+k2z
yang mana memberikan nilai energi sebagai
E=ℏ22m(k2x+k2y+k2z)