Showing posts with label mekanika kuantum. Show all posts
Showing posts with label mekanika kuantum. Show all posts

Tuesday, October 8, 2013

Persamaan Schrodinger untuk partikel bebas

Dalam domain 3D, persamaan Schroodinger dapat dituliskan sebagai 22m2ψ(r)=Eψ(r)2ψ(r)=2m2Eψ(r)=k2ψ(r)
Dengan melakukan separasi variabel kita dapat menganggap solusi persamaan di atas sebagai ψ(r)=ψ(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)
Sehingga persaman Shcroodinger dapat dituliskan menjadi (2x2+2y2+2z2)Z(x)Y(y)Z(z)=k2X(x)Y(y)Z(z)
atau jika dibagi dengan X(x)Y(y)Z(z) diperoleh 1X(x)2X(x)x2+1Y(y)2Y(y)y2+1Z(z)2Z(z)z2=k2
Jika k2 dinyatakan sebagai k2=k2x+k2y+k2z
Maka akan diperoleh [1X(x)2X(x)x2+k2x]+[1Y(y)2Y(y)y2+k2y]+[1Z(z)2Z(z)z2+k2z]=0
Karena masing-masing suku pada persamaan di atas hanya bergantung pada satu variabel, sehingga agar secara simultan penjumlahan ketiga suku menghasilkan nilai nol untuk berapapun nilai x,y,z yang dimasukkan maka masing-masing suku haruslah sama dengan nol. Atau 1X(x)2X(x)x2+k2x=0X(x)=A1eikxx
1Y(y)2Y(y)y2+k2y=0Y(y)=A2eikyy
1Z(z)2Z(z)z2+k2z=0Z(z)=A3eikzz
Yang mana ketiganya merupakan fungsi harmonik. Jadi dengan mensubstitusikan hasil ini pada asumsi sebelumnya diperoleh penyelesaian persamaan Schroodinger untuk kasus partikel bebas dalam domain 3D yakni ψ(r)=X(x)Y(y)Z(z)=Aei(kxx+kyy+kzz)=Aeikr
dengan |k|2=k2x+k2y+k2z
yang mana memberikan nilai energi sebagai E=22m(k2x+k2y+k2z)