Soal Matriks 2

$\textbf{Soal}$ Tunjukkan bahwa tidak ada $A \in M_2 (R )$ yang memenuhi $$\begin{equation} A^{2004} = \left ( \begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & -2 \end{array} \right ) \end{equation}$$ $\textbf{Jawab}$ Jika $A^{2004} = \left( \begin{array}{cc} - 1 & 0 \\ 0 & -2 \end{array} \right)$ Maka terdapat matriks real $B = A^{1002}$ yang memenuhi $$\begin{equation} B^2 = \left( \begin{array}{cc} - 1 & 0 \\ 0 & -2 \end{array} \right) \end{equation}$$ Akan kita tunjukkan bahwa matriks $B$ ini tidak eksis yang yang dengan sendirinya membuktikan soal di atas. $\\ $ Anggap $$\begin{equation} B = \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) \end{equation}$$ Maka $$\begin{equation} B^2 = \left( \begin{array}{cc} a^2 + bc & ab + bd \\ ac + cd & d^2 + bc \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & -2 \end{array} \right) \end{equation}$$ Tinjau elemen pada baris pertama kolom kedua pada matriks di atas. Yang mana menghasilkan $$\begin{equation} ab + bd = b (a - d) = 0 \end{equation}$$ Jika $b\ne 0$ maka $a = -d$ yang mengakibatkan elemen diagonal matriks di atas akan sama yakni $a^2 + bc = d^2 + bc$ padahal tidak, karena $-1 \ne -2$. Sementara jika $b \ne 0$ maka dengan meninjau elemen pada baris pertama kolom pertama akan menghasilkan $a^2 = -1$ yang tidak mungkin mengingat $a$ harus real berdasarkan soal. Jadi matriks $A$ yang memenuhi pernyataan pada soal tidak eksis. QED

sumber: http://math.stackexchange.com/