Soal Matriks 2

\( \textbf{Soal} \) Tunjukkan bahwa tidak ada \( A \in M_2 (R ) \) yang memenuhi \begin{equation} A^{2004} = \left ( \begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & -2 \end{array} \right ) \end{equation} \( \textbf{Jawab} \) Jika \( A^{2004} = \left( \begin{array}{cc} - 1 & 0 \\ 0 & -2 \end{array} \right) \) Maka terdapat matriks real \( B = A^{1002} \) yang memenuhi \begin{equation} B^2 = \left( \begin{array}{cc} - 1 & 0 \\ 0 & -2 \end{array} \right) \end{equation} Akan kita tunjukkan bahwa matriks \(B\) ini tidak eksis yang yang dengan sendirinya membuktikan soal di atas. \( \\ \) Anggap \begin{equation} B = \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) \end{equation} Maka \begin{equation} B^2 = \left( \begin{array}{cc} a^2 + bc & ab + bd \\ ac + cd & d^2 + bc \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & -2 \end{array} \right) \end{equation} Tinjau elemen pada baris pertama kolom kedua pada matriks di atas. Yang mana menghasilkan \begin{equation} ab + bd = b (a - d) = 0 \end{equation} Jika \( b\ne 0 \) maka \( a = -d \) yang mengakibatkan elemen diagonal matriks di atas akan sama yakni \( a^2 + bc = d^2 + bc \) padahal tidak, karena \( -1 \ne -2 \). Sementara jika \( b \ne 0 \) maka dengan meninjau elemen pada baris pertama kolom pertama akan menghasilkan \( a^2 = -1 \) yang tidak mungkin mengingat \( a \) harus real berdasarkan soal. Jadi matriks \( A \) yang memenuhi pernyataan pada soal tidak eksis. QED

sumber: http://math.stackexchange.com/