Teorema Fundamental Dalam Aritmatika

Teorema fundamental dalam aritmatika merupakan teorema paling dasar dalam aritmatika, dalam artian semua teorema-teorema lain diturunkan dari teorema ini (kira-kira seperti itu).

Ada dua pernyataan yang perlu diklarifikasi dalam Teorema Fundamental Aritmatika ini, pertama eksistensi, dan kedua keunikannya. Pernyataan lengkapnya adalah setiap bilangan bulat lebih dari $1$ adalah bilangan prima atau produk dari bilangan prima dan produk ini unik dalam artian untuk sebuah bilangan, maka hanya ada satu cara memfaktorkannya ke dalam bilangan prima.

Misalnya, 1200 hanya bisa dinyatakan ke dalam perkalian $1200 = 3 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5$.

Eksistensi.

Pembuktian ini menggunakan induksi matematika dengan melihat fakta bahwa beberapa bilangan bulat awal dapat difaktorkan ke dalam bilangan prima (misalnya $8 = 2 \times 2 \times 2$, $9 = 3 \times 3$). Anggap bilangan bulat bisa yang bisa difaktorkan ke dalam bilangan prima hanya sampai bilangan bulat $n - 1$ yang artinya terdapat bilangan $n$ dan seterusnya ke atas yang tidak memiliki faktor prima. Akan tetapi bilangan $n$ ini tentu merupakan hasil perkalian dari bilangan yang lebih kecil, misalkan $n = a b$ dengan $1 < a, b < n$. Karena $a$ dan $b$ masih memiliki faktor prima, implikasinya $n$ juga memiliki faktor prima, kontradiksi. Dengan mengulangi langkah ini untuk bilangan yang lebih besar dari $n$, maka dapat disimpulkan bahwa semua bilangan bulat memiliki faktor prima.

Keunikan.

Euclid Lemma. Jika sebuah bilangan prima $p$ membagi hasil perkalian dua bilangan asli $a$ dan $b$ maka $p$ dapat membagi $a$ atau $p$ dapat juga membagi $b$. (dalam postingan selanjutnya akan kita buktikan lemma ini)

Anggap bilangan bulat $s$ merupakan produk perkalian dari bilangan prima dengan dua cara yakni $$\begin{eqnarray} s = p_1 p_2 \cdots p_n = q_1 q_2 \cdots q_m \tag{1} \label{1} \end{eqnarray}$$ Dengan lemma di atas, maka $p_1$ dapat membagi salah satu dari $q_j$, misalkan $p_1$ dapat membagi $q_1$. Namun, $q_1$ sendiri adalah bilangan prima sehingga hanya bisa dibagi oleh dirinya sendiri dan $1$. Dengan demikian $q_1$ tidak lain adalah $p_1$. Kita kemudian dapat menghilangkan $p_1$ dan $q_1$ dari persamaan di atas. Sehingga diperoleh $$\begin{eqnarray} \frac{s}{p_1} = p_2p_3\cdots p_n = q_2q_3\cdots q_m \tag{2} \label{2} \end{eqnarray}$$ Akan tetapi $s/ p_1$ ini lebih kecil dari $s$, sehingga kita dapat menggunakan prinsip induksi bahwa $s$ merupakan bilangan terkecil yang tidak memiliki faktor prima yang unik. Jadi $s/ p_1$ ini memiliki faktor prima yang unik sehingga kedua indeks dalam faktorisasi pada persamaan $\ref{2}$ sama yakni $n = m$ atau bisa dikatakan $p_2p_3\cdots p_n$ tidak lain adalah $q_2q_3\cdots q_m$. QED