Membuktikan bahwa ada Tak Terhingga Bilangan Prima dalam bentuk 4 n + 3

Teorema. Ada tak berhingga banyaknya bilangan prima dalam bentuk $4 n + 3$.

Sebenarnya ini merupakan teorema perluasan dari teorema Euclid bahwa ada tak berhingga jumlah bilangan prima.

Untuk membuktikan teorema ini, terdapat sebuah lemma yang harus diketahui, yakni

Lemma. Jika $a$ dan $b$ adalah dua buah bilangan bulat dalam bentuk $4n + 1$ maka produk atau hasil perkaliannya juga dalam bentuk $4 n + 1$.

Pertama kita harus ingat kembali ( maaf, postingan tentang ini nanti dibuat kemudian) bahwa setiap bilangan bulat itu berada pada dua keadaan yakni bilangan prima atau hasil perkalian dari bilangan prima (biasa disebut bilangan komposit). Misalnya $3$ itu bilangan prima, $4$ itu bilangan komposit $4 = 2 \cdot 2$, $5$ itu bilangan prima, $6 = 2 \cdot 3$ bilangan komposit, $7$ bilangan prima, $8 = 2 \cdot 2 \cdot 2$ bilangan prima, $9 = 3 \cdot 3$, $10 = 2 \cdot 5$ bilangan komposit, $11$ bilangan prima, dst... dst...


Bilangan-bilangan prima ini disebut faktor dari bilangan komposit yang bersangkutan. Jadi $2$ dan $3$ merupakan faktor prima dari $6$.

Nah, setiap bilangan bulat itu bisa dinyatakan ke dalam 4 keadaan yakni apakah ia dalam bentuk $4 n$, atau $4 n + 1$, $4 n + 2$, atau $4 n + 3$. Misalnya jika $n = 1$, maka bilangan $4$, $5$, $6$, dan $7$ berturut-turut bisa dinyatakan sebagai $4 \cdot 1$, $4 \cdot 1 + 1$, $4 \cdot 1 + 2$, dan $4 \cdot 1 + 3$, sementara bilangan berikutnya yakni $8$, $9$, $10$, $11$ dapat diperoleh untuk $n = 2$, dst... dst...

Untuk menyatakan bilangan prima, maka kita tentu harus membuang $4 n$ dan $4 n + 2$ karena $4 n$ tentu genap, sementara $4 n + 2 = 2 (2n + 1)$ juga genap. Jadi yang tersisa adalah $4n + 1$ dan $4n + 3$.

Katakanlah $p_1, p_2, p_3 \cdots p_k$ adalah semua bilangan prima dalam bentuk $4 n + 3$. Kita kemudian dapat membentuk sebuah bilangan baru N yakni $$\begin{eqnarray} N = 4p_1p_2p_3 \cdots p_k + 3 \label{1} \end{eqnarray}$$ Berdasarkan teorema fundamental aritmatika---seperti yang sudah disinggung dalam paragraf sebelumnya---bilangan $N$ ini pun merupakan produk dari bilangan prima. Katakanlah bilangan-bilangan faktor dari $N$ semuanya berada dalam bentuk $4 n + 1$, namun berdasarkan lemma di atas, ini tentu akan menghasilkan $N$ yang juga dalam bentuk $4n + 1$ sementara $N$ pada persamaan $\ref{1}$ berada dalam bentuk $4 n + 3$. Nah jadi faktor dari $N$ setidaknya salah satunya berada dalam bentuk $4n + 3$, sementara dari persamaan $\ref{1}$, tidak satupun bilangan prima yang berada dalam bentuk $4 n + 3$ bisa membagi $N$. Jadi bilangan yang jadi faktor prima dari $N$ ini di luar dari bilangan bilangan $p_1,p_2,p_3,\cdots p_k$ tadi, sehingga masih ada bilangan prima lainnya yang lebih besar dari $p_1,p_2,p_3,\cdots p_k$ namun berada dalam bentuk $4 n + 3$. Langkah ini bisa diulangi berulang kali sehingga diperoleh kesimpulan bahwa ada tak berhingga bilangan prima yang berada dalam bentuk $4n + 3$. QED