Membuktikan Bahwa Akar Dua Irasional Versi Euclid

Sebenarnya ini merupakan tutorial klasik yang diajarkan hampir di seluruh dunia, namun ternyata menurut salah satu pengarang buku Elektrodinamika yang bernama David J. Griffith ternyata menyimpan sebuah lelucon filosofis yang cukup halus (bisa dilihat di lampiran buku Introduction to Electrodynamics karya beliau).

Pembuktian yang biasa diajarkan di sekolah-sekolah kita itu seperti ini (pembuktian dengan kontradiksi):
1. Asumsikan bahwa $\sqrt{2}$ adalah bilangan rasional sehingga terdapat dua bilangan yang rasionya adalah $\sqrt{2}$.
2. Jika kedua buah bilangan ini masih memiliki faktor persekutuan selain $1$ maka faktor persekutuan itu dapat saling dihilangkan. Misalkan $\frac{6}{4}$ itu bisa ditulis saja menjadi $\frac{3}{2}$.
3. Dengan demikian $\sqrt{2}$ dapat ditulis sebagai fraksi $\frac{a}{b}$ dengan $a$ dan $b$ bilangan bulat yang saling prima (tidak memiliki faktor persekutuan selain $1$).
4. Akibatnya $\frac{a^2}{b^2} = 2$ dan $a^2 = 2 b^2$
5. Dengan demikian $a^2$ adalah genap, karena merupakan hasil perkalian antara sebuah bilangan dengan $2$.
6. Kemudian $a$ juga genap, karena jika bilangan ganjil dipangkatkan hasilnya tetap ganjil.
7. Karena $a$ genap, maka terdapat sebuah bilangan bulat $k$ yang memenuhi $a = 2 k$.
8. Dengan memasukkan nilai $k$ dari langkah $7$ ke dalam langkah $4$ maka diperoleh: $2b^2 = \left( 2 k \right)^2$ yang artinya $2b^2 = 4 k^2$ sehingga $b^2 = 2 k^2$.
9. Karena $2k^2$ merupakan hasil perkalian dengan $2$ sehingga genap sementara $2k^2 = b^2$ maka $b^2$ sendiri juga genap, yang akibatnya $b$ juga genap (seperti sudah disebutkan pada langkah $6$).
10. Dari langkah $5$ dan langkah $8$ diperoleh fakta bahwa $a$ dan $b$ genap yang mana bertentangan dengan asumsi yang ditegaskan pada langkah $3$ yakni $a$ dan $b$ dikatakan saling prima.

Jadi ini menimbulkan kontradiksi sehingga dengan demikian asumsi mula-mula bahwa $\frac{a}{b}$ rasional pasti salah.

Selanjutnya timbul pertanyaan di kepala David J. Griffith, yakni kenapa diharuskan bahwa $a$ dan $b$ harus saling prima. $\frac{6}{4}$ sama saja rasional nya dengan $\frac{3}{2}$, adanya faktor persekutuan di situ sama sekali tidak mengurangi status bilangan $\frac{6}{4}$ menjadi bukan rasional. Dan lucunya apa yang coba ditunjukkan dengan "begitu halus" dalam pembuktian ini adalah status faktor persekutuan ini. Jika saya katakan bahwa saya ingin bilangan yang jadi pemisalan ini ($a$ dan $b$) masih memiliki faktor persekutuan kan tetap saja itu tidak menyalahi asumsi kita bahwa kedua bilangan tersebut rasional. Ngapain harus dipaksakan bahwa faktor persekutuannya harus dihilangkan? Iya... biar bisa jadi kontradiksi, hehehe!

Pembuktian Dengan Penurunan Tak Berhingga (Infinite Descent)
Euclid punya sebuah cara yang cukup cantik dalam membuktikan irasionalitas bilangan $\sqrt{2}$ ini yang tentunya tidak menimbulkan syak wasangka halus di benak kita---Tapi itupun masih belum pasti apakah benar Euclid yang pertama menuliskan pembuktian ini. Pembuktiannya begini

Asumsikan bahwa $\sqrt{2}$ adalah bilangan rasional sehingga bisa dinyatakan sebagai $$\sqrt{2} = \frac{p}{q}$$ dengan $p$ dan $q$ adalah bilangan asli. Jika dipangkatkan akan menghasilkan $$\begin{eqnarray} 2 &=& \frac{p^2}{q^2} \\ \Rightarrow 2 q^2 &=& p^2 \end{eqnarray}$$ Sehingga berdasarkan cara yang sama dengan sebelumnya $p^2$ adalah genap, demikian pula dengan $p$. Jadi $p$ bisa dinyatakan sebagai $p = 2 r$ dengan $r$ sebuah bilangan bulat positif. Akan tetapi $$\begin{eqnarray} 2 q^2 = (2r)^2 = 4 r^2 \\ \Rightarrow q^2 = 2 r^2 \end{eqnarray}$$ Yang artinya $q^2$ pun juga genap, demikian pula $q$. Sehingga $q$ dapat dinyatakan sebagai $q = 2 s$ dengan $s$ sebuah bilangan bulat positif.
Ini memberikan $$\begin{eqnarray} \frac{p}{q} = \frac{2r}{2 s} = \frac{r }{s} \end{eqnarray}$$ Artinya jika $\sqrt{2}$ bisa dinyatakan sebagai bilangan rasional dalam bentuk rasio dua bilangan asli $p$ dan $q$ maka akan terdapat bilangan asli berikutnya yakni $r$ dan $s$ dengan $r < p$ dan $s < q$ yang sama dengan $\sqrt{2}$ dan prosedur ini bisa diulang seterusnya hingga diperoleh bilangan asli berikutnya (misalnya $v < r$ dan $w < s$) yang nilainya lebih kecil lagi dan lebih kecil lagi, hingga tanpa batas. Ini tentu menimbulkan kontradiksi karena ada batas bawah untuk bilangan asli yakni $0$.