Penggunaan Induksi Matematika dalam fisika: Rewrite Soal no 1 chapter 7 buku Quantum Physics Gaziorowich

Nah tulisan ini sebenarnya hanya mengedit tulisan saya sebelumnya (http://fjr66.blogspot.co.id/2012/12/soal-no-1-chapter-7-buku-quantum.html). Sebenarnya saya agak bingung karena buku fisika kuantum Gaziorowich itu ada beberapa edisi, namun tidak semuanya ada soal yang dimaksud, contohnya di edisi 3 nya itu ga ada soal yang dimaksud. Masalahnya adalah saya lupa di edisi ke berapa buku tersebut soalnya muncul. Yang jelas buku fisika kuantum yang dimaksud saya beli di fotokopian di jalan Taman Sari Bandung, ga jauh dari kampus ITB (silakan pembaca liat di situ, kali aja ada).

Professor-professor fisika di Amerika sana benar-benar jago. Kerjaan mereka itu ga ada lain, hanya mencakar-mencakar-mencakar for entire their boring life, ga ada urusan cewek, urusan politik, atau urusan apa. Yang jelas cuma mencakar. Salah satu pekerjaan mereka adalah dengan membuat soal-soal guna menanamkan pemahaman konsep fisika ke para mahasiswa didikannya. Di samping itu untuk membuat fasih dalam hal problem solving dengan menggunakan bahasa matematika.

Salah satu teknik problem solving yang sangat terkenal dalam matematika itu namanya Induksi Matematika dan sudah digunakan sejak zaman Yunani Kuno (jadi sudah cukup klasik ya?). Nah ini yang ditekankan dalam soal yang diberikan pada buku Fisika Kuantum Gaziorowich tersebut.

Tanpa berbasi-basi kita masuk aja ke soalnya: Gunakan hubungan komutatif pada persamaan (7-15) dan defenisi bahwa state $u_n$ diberikan oleh persamaan (7-26) untuk membuktikan bahwa: $$A a_n = \sqrt{n} u_{n-1}$$ Jawab:

Pertama-tama kita tunjukkan bahwa ini benar untuk $n = 1$

Dengan menggunakan persamaan (7-26), $u_n = \frac{1}{\sqrt{n !}} \left ( {A^\text{*}} \right ) u_0$ maka diperoleh

$$A u_{1} = A \left ( \frac{1}{\sqrt{1}} \left ( A^{*} \right )^1 u_0 \right ) = A A^{*} u_0 = u_0 = \sqrt{1} u_{1-1} \nonumber$$ Dengan demikian pernyataan tersebut benar untuk $n = 1$. Dengan adanya base case tersebut maka dapat kita katakan pernyataannya benar untuk suatu $p$ tertentu dengan $p$ bilangan bulat. Selanjutnya

$$\begin{eqnarray} A u_{p + 1} & = & A \left ( \frac{( A^{*} )^{p +1} u_0 }{ \sqrt{( p + 1) ! }} \right ) \nonumber \\ & = & \frac{A A^{*} (A^{*})^p u_0 }{\sqrt{p + 1} \sqrt{p ! } } \nonumber \\ \end{eqnarray}$$ Sementara identitas (7-5) mengatakan $[A, A^{*}] = 1$ sehingga

$$\begin{eqnarray} A u_{p + 1} = (1 + A^{*} A) \frac{ (A^{*})^p u_0 }{\sqrt{p + 1} \sqrt{p ! } } \nonumber \end{eqnarray}$$ Kemudian dari persamaan (7.27) diketahui $A = \frac{d}{d A^{*}}$ yang mengakibatkan

$$\begin{eqnarray} A u_{p + 1} & = & (1 + \frac{d}{d A^{*}} ) \frac{ (A^{*})^p u_0 }{\sqrt{p + 1} \sqrt{p ! } } \nonumber \\ & = & (1 + p A^{*} ) \frac{ (A^{*})^{p-1} u_0 }{\sqrt{p + 1} \sqrt{p ! } } \nonumber \\ & = & (1 + p ) \frac{ (A^{*})^{p} u_0 }{\sqrt{p + 1} \sqrt{p ! } } \nonumber \\ & = & \sqrt{p + 1} \left ( \frac{ (A^{*})^{p} u_0 }{ \sqrt{p ! } } \right ) \nonumber \\ & = & \sqrt{p + 1} u_p && \text{Berdasarkan base case} \nonumber \\ & = & \sqrt{p + 1} u_{(p + 1) - 1} \nonumber \end{eqnarray}$$ Sehingga pernyataan $A a_n = \sqrt{n} u_{n-1}$ benar untuk semua $n$ $(\text{QED})$.