Persamaan
differensial itu sangat penting dalam dunia fisika. Persamaan
differensial merupakan metode untuk merumuskan objek fisis yang
paling tinggi hanya mempunyai percepatan (perubahan kecepatan1)
ke dalam bentuk matematis. Menurut sejarah orang yang pertama
merumuskan persamaan differensial adalah Issac Newton2.
Berbeda dengan bentuk-bentuk matematis lainnya (baik identitas maupun
persamaan, pertidaksamaan atau apalah), persamaan differensial harus
berangkat dari objek real.
Jadi
ketika kita menjumpai sebuah persamaan differensial, selanjutnya
adalah bagaimana memecahkannya untuk kasus yang kita temui. Maksudnya
persamaan differensial itu bukan sekedar pajangan dalam dunia
matematika yang belum ditahu digunakan untuk apa (misal Last Fermat
Theoreme atau Poincare Conjecture), tapi persamaan differensial itu
merupakan suatu objek yang bisa kita terapkan ke dalam tataran
praxis. Semua bentuk fisis dalam kehidupan sehari-hari tunduk pada
persamaan differensial. Sebenarnya saya sendiri kurang begitu paham
bagaimana persamaan differensial itu bisa dirumuskan. Tapi yang saya
bisa tebak, bahwa orang-orang yang merumuskan persamaan differensial
itu adalah pemikir tingkat tinggi. Jadi ketika Navier Stokes
merumuskan persamaan Navier Stokes, sebenarnya yang ada dipikirannya
itu adalah bagaimana momentum dan energi itu merambat. Ketika Newton
memikirkan hukum Newton, yang dia coba katakan itu adalah hasil
eksperimen dari Galileo tentang gerak jatuh bebas serta pergerakan
planet.
Sebenarnya
tidak ada cara umum dalam memecahkan persamaan differensial. Anda
bisa buka buku karangan Michael E. Taylor tentang persamaan
differensial parsial. Itu ada 3 jilid tebal-tebal dan tentunya bikin
pusing. Mulai persamaan yang mudah dipecahkan hingga yang susah
berupa bentuk yang non linear. Tapi berdasarkan pengalaman saya, ada
3 metode umum dalam memecahkan persamaan differensial, yakni:
a.
Separasi variabel3
b.
Menggunakan fungsi green
c.
Menggunakan deret
d.
Manipulasi matematis untuk mencari bentuk yang familiar, kemudian
integralkan.
Tapi,
bagian c saya belum temukan apa landasan formalnya sampai metode itu
digunakan, tapi yang jelas dari persamaan itulah bentuk umum
persamaan Bessel dan Legendre diturunkan.
Kemudian
berbicara mengenai kasus simetri persamaan differensial, ada 3 macam
keadaan yang umum dijumpai.
1.
Simetri bidang datar, anda hanya perlu memecahkannya pada satu sumbu
(misal sumbu x) selanjutnya untuk sumbu lain, bisa dilakukan
generalisasi dengan mudah (pada banyak kasus begitu yang terjadi :D)
2.
Simetri bola, contohnya untuk kasus elektron yang terperangkap dalam
atom (bukan elektron bebas), biasanya anda akan sampai pada persamaan
Legendre yang menghasilkan suku-suku deret Legendre.
3.
Simetri Silinder, contohnya untuk perambatan gelombang
elektromagnetik pada pandu gelombang (yang umunmnya berbentuk
silinder). Biasanya anda akan sampai pada persamaan Bessel, dan yang
mempunyai solusi umum fungsi Bessel.
Sebenarnya
mengajarkan persamaan differensial butuh kesabaran, karena umumnya
para pelajar bukan orang yang begitu tertarik dengan matematika.
Makanya pada banyak buku fisika kuantum itu, sebelum kita membahas
keadaan elektron dalam atom (dengan potensial terpusat) kita terlebih
dahulu diajarkan hal-hal yang sederhana mengenai pemecahan persamaan
Schrodinger. Misalnya potensial sumur tak hingga, potensial tangga,
dan potensial-potensial lainnya. Gunanya untuk apa, karena pada kasus
potensial tersebut, persamaan differensialnya masih mudah dipecahkan,
karena hanya melibatkan simetri bidang datar. Ketika berangkat pada
atom hidrogen di mana harus dirumuskan dalam skala 3 dimensi, maka
otomatis simetrinya adalah simetri Bola, karena elektron sendiri
mengorbit atom diasumsikan dalam orbit “bola”. Akibatnya
kemungkinan besar akan sampai pada persamaan Bessel dan akhirnya pada
fungsi Bessel yang sangat membingunkan bagi pemula.
Itu
baru simetri bola, bagaimana kalo simetri belah ketupat atau simetri
belah durian, saya ga tau fungsi apa yang digunakan. Tentunya para
pemula seperti saya ini sudah pingsan duluan.
1.
Tidak ada jaminan bahwa persamaan differensial itu harus sampe orde
2. Persamaan bousinneq itu sampe orde 4
(http://en.wikipedia.org/wiki/Boussinesq_equation_(water_waves)
)
3. Ada
banyak metode dalam separasi variabel, bukan hanya dalam bentuk
perkalian, tapi ada juga dalam bentuk penjumlahan, dan itu paling
tricky untuk dipraktekan bagi pemula:
http://ptp.oxfordjournals.org/content/105/3/379.full.pdf
